[mathjax]
積分問題7番
思考
分母が因数分解できるので、実行してそれから部分分数分解します。
計算
\(\displaystyle\frac{dx}{x^3+1}=\displaystyle\frac{dx}{(x+1)(x^2-x+1)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-x+1}\biggr)dx\) （部分分数分解）
第一項
そのまま積分計算します。
\(\displaystyle\frac{1}{3}\log |x+1|+C\)
第二項
\(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-x+1}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{-(2x-1)+3}{x^2-x+1}dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\biggl(x-\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\biggr)^2}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\tan^{-1} \biggl(\displaystyle\frac{2x-1}{\sqrt3}\biggr)+C \)
\(\tan^{-1}x\) が登場する積分に関しては以下の事実を使用しました。
答え
上の結果をまとめると答えとなります。
\(\displaystyle\frac{1}{3}\log |x+1|-\displaystyle\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\tan^{-1} \biggl(\displaystyle\frac{2x-1}{\sqrt3}\biggr)+C \)
