[mathjax]
積分問題70番
思考
見た目がごついですが、\(\log x\)を置き換えると意外と素直です。
計算1
\(t=\log x\)とおくと、\(x=e^t\)となり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=e^t=x\)
これらを問題の積分に代入。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log x(1+\log x)}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t(t+1)}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}\)
\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{t}{t+1}\biggr|+C=\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x}{1+\log x}\biggr|+C\)
計算2
置換しなくてもできます。やっていることは同じですが。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log x(1+\log x)}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log x}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x(1+\log x)}\)
\(=\log |\log x|-\log|1+\log x|+C\)
\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x}{1+\log x}\biggr|+C\)
計算になれていればこちらは簡潔で分かりやすいと思います。
答え
\(\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x}{1+\log x}\biggr|+C\)
