[mathjax]
積分問題74番
思考
全体を部分積分して計算しても、分解してからでもできます。この問題は基本問題です。
計算1
全体を部分積分。
\(\displaystyle\int (x^2+1)e^{-x} dx\)
\(=-(x^2+1)e^{-x}+\displaystyle\int 2x e^{-x}dx\)
\(=-(x^2+1)e^{-x}-2x e^{-x}+\displaystyle\int 2e^{-x}dx\)
\(=-(x^2+1)e^{-x}-2x e^{-x}-2e^{-x}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{x^2+2x+3}{e^x}+C\)
計算2
分割して計算してもできる。（やってること大して変わらないです。）
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1}{e^x}dx\)\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{e^x}dx\)\(+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^x}dx\)
それぞれ計算します。
第一項
部分積分を繰り返します。
\(\displaystyle\int x^2 e^{-x}dx\)
\(=-x^2e^{-x}+\displaystyle\int 2x e^{-x}dx=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}+\displaystyle\int2e^{-x}dx\)
\(=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{e^x}+C\)
第二項
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^x}dx\)\(=\displaystyle\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+C\)
まとめ
\(-\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{e^x}\)\(-\displaystyle\frac{1}{e^x}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{x^2+2x+3}{e^x}+C\)
結果
\(-\displaystyle\frac{x^2+2x+3}{e^x}+C\)
