積分問題75番

積分問題
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積分問題75番

 

 

 

思考

三角関数のお馴染みの置換をしてももちろん解けますが、今回は分母を合成して積分してみます。

 

 

計算1

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt3\sin x-\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \biggl(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \Biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{12}\biggr)\Biggr|+C\)

 

最後の変形に以下の積分を用いた。

 

\(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分

 

ワイエルシュトラス置換
今日は三角関数の積分の話です。 ワイエルシュトラス置換名前は聞いたことなくても知っている人多いと思います。\( t = \tan \displaystyle\frac{x}{2}\)  と置くあれです。これを使うと三角関数の積...

 

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)\(= \log t + C\)

 

\(= \log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\) 

 

 

 

計算2

三角関数積分なので\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) とおくワイエルシュトラス置換をする。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt3\sin x-\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2\sqrt{3}t}{t^2+1}-\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)

 

\(=2\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t^2+2\sqrt{3}t-1}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t+\sqrt{3}-2}-\displaystyle\frac{1}{t+\sqrt{3}+2}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\Biggl|\displaystyle\frac{t+\sqrt{3}-2}{t+\sqrt{3}+2}\Biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\Biggl|\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\sqrt{3}-2}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\sqrt{3}+2}\Biggr|+C\)

 

※計算1と答えが違うように見えるが、変形すれば同じになる。

 

\(\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\)使って、二倍角や半角で示せる。

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}\log \Biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{12}\biggr)\Biggr|+C\)

 

 

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