積分問題75番

[mathjax]

三角関数のお馴染みの置換をしてももちろん解けますが、今回は分母を合成して積分してみます。

$\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt3\sin x-\cos x}$

$=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \biggl(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)}$

$=\displaystyle\frac{1}{2}\log \Biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{12}\biggr)\Biggr|+C$

最後の変形に以下の積分を用いた。

$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx$

$=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\frac{1}{t}dt$$= \log t + C$

$= \log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C$

三角関数積分なので$t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}$　とおくワイエルシュトラス置換をする。

$\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt3\sin x-\cos x}$

$=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2\sqrt{3}t}{t^2+1}-\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt$

$=2\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t^2+2\sqrt{3}t-1}dt$

$=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t+\sqrt{3}-2}-\displaystyle\frac{1}{t+\sqrt{3}+2}\biggr)dt$

$=\displaystyle\frac{1}{2}\log\Biggl|\displaystyle\frac{t+\sqrt{3}-2}{t+\sqrt{3}+2}\Biggr|+C$

$=\displaystyle\frac{1}{2}\log\Biggl|\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\sqrt{3}-2}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\sqrt{3}+2}\Biggr|+C$

※計算1と答えが違うように見えるが、変形すれば同じになる。

$\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$使って、二倍角や半角で示せる。

$\displaystyle\frac{1}{2}\log \Biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{12}\biggr)\Biggr|+C$