[mathjax]
積分問題76番
思考
見た目は多少ごついですが逆に考えるとできることが限られています。
発想として、\(t=\log x\)とおくぐらいしか出てきません。この方法で解きます。
計算
\(t=\log x\) とおく。\(x=e^t\)となり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=e^t\)であることを使って変形していきます。
\(\displaystyle\int \sin (\log x)dx\)\(=\displaystyle\int e^t\sin t dt\)
すると、これは頻出積分の形です。
積分
① \(\biggl[e^t\sin t\biggr]’=e^t(\sin t+\cos t)\)
② \(\biggl[e^t\cos t\biggr]’=e^t(-\sin t+\cos t)\)
①－②より \(\biggl[e^t(\sin t-\cos t)\biggr]’=2e^t\sin t\)
結果
\(\displaystyle\int e^t\sin t dt\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}e^t(\sin t-\cos t)+C\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}x\sin (\log x)-\displaystyle\frac{1}{2}x\cos (\log x)+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{2}x\sin (\log x)-\displaystyle\frac{1}{2}x\cos (\log x)+C\)
