[mathjax]
積分問題78番
問題
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}\)
解答
\(t=\sqrt{\tan x}\) とおく。
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{2}\tan x^{-\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}=\displaystyle\frac{1+t^2}{2t}\) より
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} dx\)
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{2t}{(1+t)(1+t^4)} dt\)
\(=\displaystyle\int \biggl(\displaystyle\frac{t^3-t^2+t+1}{t^4+1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr) dt\) ※部分分数分解
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{t^3-t^2+t+1}{t^4+1}dt\)\(-\log|\sqrt{\tan x}+1|+C\)
第一項
第一項を考える。
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{t^3-t^2+t+1}{t^4+1}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{2}t+\displaystyle\frac{1}{2}}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt+\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{2}t+\displaystyle\frac{1}{2}}{t^2-\sqrt{2}t+1}dt\) ※部分分数分解
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}(2t+\sqrt{2})-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt+\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}(2t-\sqrt{2})+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|t^2+\sqrt{2}t+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2}t+1)\)
\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|t^2-\sqrt{2}t+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2}t-1)+C\)
\(=\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|\tan x+\sqrt{2\tan x}+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}+1)\)
\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|\tan x-\sqrt{2\tan x}+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}-1)+C\)
部分分数分解のあとは分子が分母の微分形を作り出すためのくくりだし。
残った項は分母が二次で部分分数分解できないので以下の積分。
最後に変数を元に戻しました。
まとめ
ここまでの計算は第一項をしていたので第二項と合わせると答えになる。
\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|\tan x+\sqrt{2\tan x}+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}+1)\)
\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|\tan x-\sqrt{2\tan x}+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}-1)\)
\(-\log|\sqrt{\tan x}+1|+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|\tan x+\sqrt{2\tan x}+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}+1)\)
\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|\tan x-\sqrt{2\tan x}+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}-1)\)
\(-\log|\sqrt{\tan x}+1|+C\)
