[mathjax]
積分問題80番
思考
うまく変形させて、分子が分母の微分形になるようにします。（作り出します）
ワイエルシュトラス置換（\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)）をして部分分数分解からもとけるはずだが、計算が大変になりそうです。
計算
\(\displaystyle\frac{3\sin x-4\cos x}{\sin x-2\cos x}=a\cdot\displaystyle\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}+b\)
というように\(a\)と\(b\)を置きます。（微分形を無理やり作り出す）分母を払うと
\(3\sin x-4\cos x=(2a+b)\sin x+(a-2b)\cos x\) となります。
これを解くと \(a=\displaystyle\frac{2}{5} , b=\displaystyle\frac{11}{5}\)
よって問題の積分は以下のように変形可能である。
\(\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{2}{5}\cdot\displaystyle\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}+\displaystyle\frac{11}{5}\biggr)dx\)
これを解くと
\(\displaystyle\frac{2}{5}\log |\sin x-2\cos x|+\displaystyle\frac{11}{5}x+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{2}{5}\log |\sin x-2\cos x|+\displaystyle\frac{11}{5}x+C\)
