[mathjax]
積分問題82番
思考
部分積分をしますが、何回もやっていきます。
計算
\(\displaystyle\int x^n e^{-x}dx=I_{n}\) とおく。
\(\displaystyle\int x^n e^{-x}dx=-x^n e^{-x}+\displaystyle\int nx^{n-1}e^{-x}dx=-x^n e^{-x}+nI_{n-1}\)
\(\displaystyle\int x^{n-1} e^{-x}dx=-x^{n-1} e^{-x}+\displaystyle\int (n-1)x^{n-2}e^{-x}dx=-x^{n-1} e^{-x}+(n-1)I_{n-2}\)
\(\cdots\)
\(\displaystyle\int xe^{-x}dx=-x e^{-x}+\displaystyle\int e^{-x}dx=-x e^{-x}-e^{-x}+C\)
上から\(1\)、\(n\)、\(n(n-1)\)、\(\cdots\)、\(n!\)をかけて総和をとる。
\(-(x^n+(x^n)’+(x^n)^{(2)}+\cdots +(x^n)^{(n)})e^{-x}+C\)
答え
\(-(x^n+(x^n)’+(x^n)^{(2)}+\cdots +(x^n)^{(n)})e^{-x}+C\)
※ちなみに、これは一般の\(f(x)\) に関して成立する。
