[mathjax]
積分問題83番
思考
そのまま部分積分しても、置換しても解けます。
部分積分では広義積分になります。
計算1
\(t=\log x\) とおき、置換積分でやっていきます。
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x}\) より、\(dx=e^t dt\)
※置換したので積分範囲が変わってます。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}t e^t dt=\biggl[te^t\biggr]_{-\infty}^{0}-\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^t dt=\biggl[te^t-e^t\biggr]_{-\infty}^{0}=\)\(-1\)
のようになります。
計算2
広義積分の考え方。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx\) を部分積分で直接解きます。
しかし、\(\log 0\)が出てきてしまうので、ここを\(m\)にして極限を飛ばします。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx=\displaystyle\lim_{m\to 0}\displaystyle\int_{m}^{1}\log x dx\)
\(=\displaystyle\lim_{m\to 0}\biggl[x\log x-x\biggr]_{m}^{1}\)
\(=\displaystyle\lim_{m\to 0} (-1-m\log m+m)\)
\(=-1\)
計算3
図を書いて考えると、問題の積分領域は\(e^x\)の「\(-\infty\)～\(0\)」までの所と同じことが分かります。
式で書くと
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx=-\displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^x dx\)
※積分領域が\(x\)軸より下なので、変換したときに負号がつきます。
\(-\displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^x dx=-\biggl[e^x\biggr]_{-\infty}^{0}\)
\(=-1\)
