[mathjax]
積分問題88番
思考
絶対値の中身が正か負かで分けます。計算ミスに注意すれば、よくある絶対値の積分の基本問題です。
計算
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-\cos x|dx\)
絶対値の中
\(\sin x-\cos x\) について考える。（\(0 \leq x \leq \pi\) ）
\(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin \biggl(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)\) であるので、\(\sin x-\cos x\) は、
\(0 \leq x \leq \displaystyle\frac{\pi}{4}\)のとき、負。\(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq x \leq \pi\) のとき、正。
（グラフを書いても分かる。）
積分計算
積分は次のようになる。
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-\cos x|dx=\)\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(-\sin x+\cos x)dx+\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}(\sin x-\cos x)dx\)
\(=\biggl[\cos x+\sin x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\biggl[-\cos x-\sin x\biggr]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\)
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\biggr)-1+(1-0)-\biggl(-\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\biggr)=2\sqrt 2\)
答え
\(2\sqrt 2\)
