積分問題90番

積分問題
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積分問題90番

 

 

 

思考

以前に積分問題で、\(\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx\) というのがありましたが、これも同じ感じです。知らないと置換は厳しいかもです。

 

計算1

\(x=\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}\) と置き換えます。(根号をはずすためこのような置き換えになります。)

 

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}\)

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos^2 \theta}{\tan \theta}\cdot\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int \cos \theta  d\theta=\sin \theta+C\)

 

\(=\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{x^2}}+C=\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\)

 

 

 

計算2

この計算は上の計算を2回に分けた感じになってます。普通はたぶんこちらで解きます。

 

\(t=\sqrt{x^2-1}\) とおく。\(tdt=xdx\)であるので

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t(t^2+1)}\cdot\displaystyle\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}} dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(\tan^2 \theta+1)^{\frac{3}{2}}} \cdot\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)

 

\(=\displaystyle\int \cos\theta d\theta\)   ※\(t=\tan\theta\) と置換

 

\(=\sin\theta+C\)

 

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{t^2}{t^2+1}}+C\)

 

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{x^2-1}{x}}+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\)

 

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