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積分問題90番
思考
以前に積分問題で、\(\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx\) というのがありましたが、これも同じ感じです。知らないと置換は厳しいかもです。
計算1
\(x=\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}\) と置き換えます。（根号をはずすためこのような置き換えになります。）
\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}\)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos^2 \theta}{\tan \theta}\cdot\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta\)
\(=\displaystyle\int \cos \theta d\theta=\sin \theta+C\)
\(=\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{x^2}}+C=\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\)
計算2
この計算は上の計算を2回に分けた感じになってます。普通はたぶんこちらで解きます。
\(t=\sqrt{x^2-1}\) とおく。\(tdt=xdx\)であるので
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t(t^2+1)}\cdot\displaystyle\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}} dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{(\tan^2 \theta+1)^{\frac{3}{2}}} \cdot\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)
\(=\displaystyle\int \cos\theta d\theta\) ※\(t=\tan\theta\) と置換
\(=\sin\theta+C\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{t^2}{t^2+1}}+C\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{x^2-1}{x}}+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\)
