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積分問題91番
思考
一見、方針の立て方に困るかもしれません。
結論から言うと、\(\log x\)を置換して解きます。
計算
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log^2 x-4x}\)
\(t=\log x\) とおく。
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x}\)であり、これを変形すると、\(dx=xdt\)となるのでこれを代入。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{xdt}{xt^2-4x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-4}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-2)(t+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-2}-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+2}\) （部分分数分解）
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{t-2}{t+2}\biggr|+C\) （積分してまとめた）
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x-2}{\log x+2}\biggr|+C\) （変数を元に戻す。）
答え
\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x-2}{\log x+2}\biggr|+C\)
