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積分問題94番
思考
93番の問題と考えは同じです。指数部分が偶数になってるのでほんの少し変わります。
① \((\tan \theta)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。
② \(\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\) も使う。
この二つの式をひたすら使っていきます。
計算
\(\displaystyle\int\tan^6 \theta d\theta=\displaystyle\int \tan^4 \theta\cdot\tan^2 \theta d\theta\)
\(=\displaystyle\int \tan^4 \theta\)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\biggr)\)\(d\theta\) \(\cdots\) ②使用
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{\tan^4 \theta}{\cos^2 \theta} d\theta-\displaystyle\int \tan^4 \theta d\theta\) \(\cdots\) 展開した。
\(=\displaystyle\int \tan^4 \theta(\tan \theta)’ d\theta-\displaystyle\int \tan^2 \theta\cdot \tan^2 \theta d\theta\) \(\cdots\) ①使用
\(=\displaystyle\int \tan^4 \theta(\tan \theta)’ d\theta-\displaystyle\int \tan^2 \theta\cdot\)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\biggr)\)\(d\theta\) \(\cdots\) ②を再び使用。
\(=\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta-\displaystyle\int \tan^2 \theta(\tan \theta)’ d\theta+\displaystyle\int \tan^2 \theta d\theta\) \(\cdots\) 展開して①を使用。
\(=\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta-\displaystyle\frac{1}{3} \tan^3 \theta+\displaystyle\int \)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\biggr)\)\( d\theta\) \(\cdots\) ②をもう一度使用。
\(=\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta-\displaystyle\frac{1}{3} \tan^3 \theta+\tan \theta-\theta+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta-\displaystyle\frac{1}{3} \tan^3 \theta+\tan \theta-\theta+C\)
