[mathjax]
積分問題95番
思考
93や94番の問題のように下の二つの性質を利用します。
① \((\tan \theta)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。
② \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}\) も使う。
計算
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{d\theta}{\cos^6 \theta}\)
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos^4 \theta}\cdot\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\) （上の事実を使うためにこのように考える。）
\(=\displaystyle\int \)\((1+\tan^2 \theta)^2\)\((\tan \theta)’ d\theta\) \(\cdots\) ①②両方利用。
\(=\displaystyle\int (\tan^4 \theta+2\tan^2 \theta+1)(\tan \theta)’ d\theta\)
\(=\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta+\displaystyle\frac{2}{3}\tan^3 \theta+\tan \theta+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta+\displaystyle\frac{2}{3}\tan^3 \theta+\tan \theta+C\)
簡潔に書くと数行で終わってしまいますが、重要な要素をたくさん含んでいます。
