[mathjax]
積分問題97番
思考
\(\sin^{-1} x\) は扱いづらいので、部分積分で消します。
\((\sin^{-1} x)’=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) を利用する。
計算過程で、\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1+x}}=2\sqrt{1+x}+C\) を使用している。
計算
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1+x}}\)
\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}dx\) \(\cdots\) 部分積分
\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) \(\cdots\) 約分する
\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x-2(-2\sqrt{1-x})+C\)
\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x+4\sqrt{1-x}+C\)
答え
\(2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x+4\sqrt{1-x}+C\)
