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目次
積分問題98番
（\(m\)と\(n\)は整数）
思考
有名な問題です。和積公式を使って計算すれば良いのですが、場合分けに注意します。
場合分けの理由については最後に述べました。
計算
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (m+n)x + \cos (m-n)x\biggr)dx\) \(\cdots\) 和積公式を利用した。
\(m\neq n\)
\(=\bigg[\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\displaystyle\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\biggr)\biggr]_{-\pi}^{\pi}=0\)
（\(m\)と\(n\)が整数であるため。\(\sin(m+n)x=0\)、\(\sin(m-n)x=0\)となる。）
\(m=n\)
\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (2m)x +1\biggr)dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[\displaystyle\frac{1}{2m}\sin 2mx+x\biggr]_{-\pi}^{\pi}=\pi\)
まとめ
\(m=n\)のとき \(\pi\)
\(m\neq n\) のとき \(0\)。
場合分けをした理由は、\(m\neq n\) と仮定して解いたときに分母に\(m-n\) が登場するためです。
\(m=n\) なら分母に\(0\)が来てしまうため、同様の計算で処理できず、場合分けの必要性が生じる。
