[mathjax]
積分問題99番
思考
まずは、積分の中身を変形して置き換えていきます。そのあとは特有のテクニック感は多少あります。
計算
\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{(\log t)^3}{t-1}-\displaystyle\frac{(\log t)^3}{t}\biggr)dt\)
\(=\displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{(\log t)^3}{t^2-t}dt\)
\(x=\log t\) とおくと、\(t=e^x\) で、\(dt=e^x dx\)であり、積分は次のようになる。（積分範囲の変化にも注意）
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^3}{e^{2x}-e^x}\cdot e^x dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^3}{e^x-1}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^3}{e^x(1-\frac{1}{e^x})}dx\)
ここで無限級数を式を逆に利用。(1より小さい)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3 e^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{e^{nx}}dx\)
今回はシグマと積分は交換できる。
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3 e^{-(n+1)x}dx\)
ここで指数部分の処理のため置き換える。\(t=(n+1)x\)
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{t^3}{(n+1)^3}\cdot e^{-t}\cdot \displaystyle\frac{dt}{n+1}\)
変数と関係ないところは外に出せます。
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{(n+1)^4}\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^3 e^{-t}dt\)
\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^4}\biggl[-(t^3+3t^2+6t+6)e^{-t}\biggr]_{0}^{\infty}\)
\(=6\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^4}\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^4}\)はゼータ関数の\(s=4\) の場合で、値は\(\displaystyle\frac{\pi^4}{90}\)
答え
\(\displaystyle\frac{\pi^4}{15}\)
