積分問題一覧

積分問題
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積分問題

 

まとめておきました。

レベルはこのサイトの問題内での相対的レベルです。1(易)⇔10(難)

難易度は目安程度にお願いします。

(arctan) は答えに\(\tan^{-1} x\)が出てきてしまうものです。

※範囲を指定すれば高校範囲でもできたりします。

 

 

1番

3

積分の基本
 基本用語原始関数\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。積分するとは原始関数を求めることである。 積分定数例えば、微分して \(x^2\) となる関数は\(\displa...

 

2番

2

積分問題2番
 積分問題2番  思考\(e^x\)関連の積分なので、置換することを考えると思います。置換しなくても今回はうまく解けます。 計算1まずは分子分母に\(e^x\)をかけます。 \(\displaystyle\int...

 

3番

2 (arctan)

積分問題3番
積分問題3番  思考\(t=e^x\)と置換して考えます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});   計算\( e^x=t\) とお...

 

4番

7

積分問題4番
積分問題4番  思考因数定理より、分子分母ともに\(x-1\)を因数に持つので、そこから式変形を行っていきます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push...

 

5番

5(arctan)

積分問題5番
積分問題5番  思考共通因数で割り、分母を因数分解した後、部分分数分解して計算していきます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  ...

 

6番

7(arctan)

積分問題6番
積分問題6番   思考分子分母とも\( (x-1) \) で割れるので割る。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\di...

 

7番

5(arctan)

積分問題7番
積分問題7番   思考分母が因数分解できるので、実行してそれから部分分数分解します。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\(...

 

8番

5

積分問題8番
積分問題8番   思考有名な積分です。まずは部分積分を行います。(\(x\)の微分がかけられていると考えて)\(x=\tan\theta\)と置き換えても解ける。  (adsbygoogle = win...

 

9番

5(arctan)

積分問題9番
積分問題9番  思考根号が出てはきますが、分母を因数分解して部分分数分解して計算していきます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  ...

 

10番

1

積分問題10番
積分問題10番   思考難しい積分ばかりやっているとこの積分も難しく見えてしまいそうですがこの積分は、基本問題です。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).pu...

 

11番

3

積分問題11番
 積分問題11番  思考分子分母に\(\sin x\)をかけることで置換してうまくいくようにします。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});...

 

12番

5

積分問題12番
積分問題12番  思考分子と分母に\(x^2+1\)があるので、これらを固めます。(かたまりとみる感じ)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({})...

 

13番

6

積分問題13番
積分問題13番 問題  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 解答まずは分子を分割する。\(\displaystyle\int_{\fra...

 

14番

6

積分問題14番
積分問題14番  思考三角関数の積分なので、\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をします。  計算1置換を実行すると、問題の積分は \(\displaystyle\int\...

 

15番

6(arctan)

積分問題15番
 積分問題15番  思考分母を因数分解して部分分数分解していきます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\displ...

 

16番

2

積分問題16番
積分問題16番  思考少しトリッキーな変形に見えるかもしれませんが、以下のようにします。分子に分母の形を作る。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push...

 

17番

3(arctan)

積分問題17番
 積分問題17番   思考最初に分母を平方完成します。そして置き換えです。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算1\(\dis...

 

18番

1

積分問題18番
 積分問題18番   思考基本問題です。置き換えて計算します。置き換えなしでもできる。(計算1)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); ...

 

19番

2

積分問題19番
 積分問題19番  思考部分分数分解して計算していきます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\displaysty...

 

20番

2(arctan)

積分問題20番
積分問題20番   思考分子の次元を減らします。変形を見れば、言ってることがわかると思います。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  ...

 

21番

2

積分問題21番
積分問題21番  思考まずは指数の \(\sqrt x\) が扱いにくいので置き換えます。置換積分です。 計算\(t=\sqrt x\) とおく。 \(x=t^2\) となり、\(dx=2tdt\) となるので、これ...

 

22番

1(arctan)

積分問題22番
積分問題22番  思考\(e^x\)がでてくるので、最初に、\(t=e^x\) という置換を行います。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});...

 

23番

4

積分問題23番
積分問題23番  思考部分分数分解して計算していきます。 計算\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^5-x}\) \(\displaystyle\int\displa...

 

24番

5(arctan)

積分問題24番
積分問題24番  思考部分分数分解します。(定石通りですが、大変です。)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\di...

 

25番

7(arctan)

積分問題25番
積分問題25番  思考分母を因数分解して部分分数分解します。言うのは簡単ですが、計算は大変です。 計算※\(x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\) \(\displaystyle\int\displa...

 

26番

4

積分問題26番
積分問題26番  思考① \((\tan \theta)'=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。 ② \(\tan^2 \theta=\display...

 

27番

3

積分問題27番
積分問題27番  思考三角関数の積分なので \( t= \tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。  (adsbygoogle = window.adsbygoogl...

 

28番

7(arctan)

積分問題28番
積分問題28番   思考とりあえず根号が扱いづらいので \( t=\sqrt{\tan x}\) とおく。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}...

 

29番

3(arctan)

積分問題29番
積分問題29番   思考分母を平方完成して、置き換える。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算1\(\displaystyl...

 

30番

3

積分問題30番
積分問題30番   思考部分分数分解します。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\displaystyle\int\d...

 

31番

6

積分問題31番
積分問題31番   思考三角関数の積分ということなので \(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。  (adsbygoogle = window.adsbyg...

 

32番

6

積分問題32番
積分問題32番 問題  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 解答\(\displaystyle\int\displaystyle\frac...

 

33番

5

積分問題33番
積分問題33番  思考形からの連想ですが、対称性を利用する積分です。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\(I=\displa...

 

34番

10

積分問題34番
積分問題34番    (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\disp...

 

35番

7

積分問題35番
積分問題35番  思考全体が根号の分数型は全体を置き換えます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(t=\sqrt{\d...

 

36番

7

積分問題36番
積分問題36番 問題  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  解答\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{...

 

37番

3

積分問題37番
積分問題37番 思考\(x^2+1\)があるので\(\tan \theta\)で置き換えてみます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); ...

 

38番

3

積分問題38番
積分問題38番  思考\(\displaystyle\frac{1}{\cos^4 x}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 ...

 

39番

9

積分問題39番
積分問題39番  思考 根号を外すための置換を考えます。 \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}\) の関係から逆に考えていくと \(x=\disp...

 

40番

5

積分問題40番
積分問題40番   思考部分積分をします。漸化式になります。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 解答1\(I_{n}=\displ...

 

41番

10

積分問題41番
積分問題41番  思考対称性の利用  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(I=\displaystyle\int_{0}^...

 

42番

6

積分問題42番
 積分問題42番  思考対称性などが利用できそうなので利用してみる。(実際できる。)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算...

 

43番

6

積分問題43番
積分問題43番  思考\(\tan^2 x\)の扱いがわからないのでとりあえず\(t=\tan x\) と、置き換えてみます。 計算\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\f...

 

44番

1

積分問題44番
積分問題44番  思考\(\displaystyle\frac{1}{x}=(\log x)'\) という事実を利用します。これを見抜けば暗算でも答えが出せます。  (adsbygoogle = wind...

 

45番

1(arctan)

積分問題45番
積分問題45番  思考部分積分だけです。(\( (x)' \) が隠れていると考えて)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算...

 

46番

8

積分問題46番
積分問題bot46   思考部分積分します。(\(x'\))がかかっている考える。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算部分積分...

 

47番

1

積分問題47番
積分問題47番  思考\(e^x\) 関連なので、普通は(\(=t\)) と置こうかなと考えます。(もちろんそれでもできます) 今回は分子を分けて置き換えなくてもできます。(やってること同じですが笑)  ...

 

48番

2(arctan)

積分問題48番
積分問題48番  思考分子に\(2x\) があります。\(2x=(x^2)'\) です。なので今回は \(t=x^2\) と置き換えてみよう。という発想で行きます。  (adsbygoogle = win...

 

49番

5

積分問題49番
積分問題49番問題\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\) という問題です。 (adsbygoogle = window.adsbyg...

 

50番

1

積分問題50番
積分問題50番  思考分子を見てみると\(2x=(x^2)'\) なので \(t=x^2\) とおく。 \(dt=2xdx\) となる。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle...

 

 

 

51番

10

積分問題51番
積分問題51番 \(n\geq 2\)の自然数。 思考どうしていいか難しいですが、今回は被積分関数を\(t=\displaystyle\frac{1}{x^n+1}\)  と置きます。 \(dt=-(x^n+1)^{-...

 

52番

2

積分問題52番
積分問題52番  思考分子に\(2x\) があります。\(2x=(x^2)'\) です。 なので \(t=x^2\) と置き換えてみるという考えです。 計算\(dt=2xdx\)  となり問題の積分は \(\dis...

 

53番

2

積分問題53番
積分問題53番   思考あきらかに \(\sqrt x\) が扱いにくいので\(t=\sqrt x\) と置きます。\(x=t^2\)なので、 \(dx=2tdt\)。  (adsbygoogle = w...

 

54番

6(arctan)

積分問題54番
積分問題54番  思考ルートの分数型なので、 \(=t\) と置きます。 \(t=\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}\) 変形すると \(x=\displaystyle\frac{1}{...

 

55番

10

積分問題55番
積分問題55番  思考\(t=\log x\) の置換を最初は考えると思います。しかし\(e^x\log x\)が登場してうまく解けません。まずは分解してみます。  (adsbygoogle = wind...

 

56番

3

積分問題56番
積分問題56番  思考\(x\) に \(e^x\) に \(\sin x\) に盛りだくさんで大変扱いにくいです。どれか消したいなと考えたときに\(x\) を部分積分によって消すことが出来るので、この方針でいきます。 ...

 

57番

4

積分問題57番
積分問題57番  思考\(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\) \(\biggl(\displaystyle\frac{1}...

 

58番

4

積分問題58番
積分問題58番  思考分母が面倒です。この問題では根号を両方外すため、\(x=t^6\)  とおきます。 \(dx=6t^5dt\)。 計算問題の積分は \(\displaystyle\int\displayst...

 

59番

10

積分問題59番
積分問題59番  思考\(e^x\)の部分を置換をするわけですが積分範囲を有限区間にするために\(u=e^x\)ではなく\(u=e^{-x}\)とおいておきます。 計算\(\displaystyle\int_{0}^{\...

 

60番

4

積分問題60番
積分問題60番   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx...

 

61番

6

積分問題61番
積分問題61番  解答1複素積分の方法で解く。以下の経路で考える。  \(\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\...

 

62番

9

積分問題62番
積分問題62番  思考なかなか特殊な解き方なので知らないと厳しいかもしれません。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(I...

 

63番

6(arctan)

積分問題63番
積分問題63番  思考三角関数の積分なので\(t=\tan \displaystyle\frac{\theta}{2}\)の置き換えをします。 \(d\theta=\displaystyle\frac{2dt}{1+t^...

 

64番

2

積分問題64番
積分問題64番  思考このままではできないので、置換します。置き換え方ですが、\(\sqrt{1-e^x}\) 全体を置き換えます。\(e^x\)を置き換えても結局全体を後で置き換えることになる。(実際解くときはこっちで解...

 

65番

9

積分問題65番
 積分問題65番   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 思考とりあえず展開してみてそれぞれ積分しようにも全くできません。今回は \(\...

 

66番

3(arctan)

積分問題66番
積分問題66番  思考指数部分が扱いにくいので置き換えます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(t=2^x\)とおく。...

 

67番

3

積分問題67番
積分問題67番   思考因数分解する。三角比の関係性をいろいろ使う。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\displa...

 

68番

5

積分問題68番
積分問題68番  思考分母を因数分解すると\(x(x^2+1)\)となります。ここからそのまま部分分数分解してもいいですが、今回は \((x-1)^2=(x^2+1)-2x\)  で、\((x^2+1)\)が登場するというこ...

 

69番

2

積分問題68番
積分問題68番  思考分母を因数分解すると\(x(x^2+1)\)となります。ここからそのまま部分分数分解してもいいですが、今回は \((x-1)^2=(x^2+1)-2x\)  で、\((x^2+1)\)が登場するというこ...

 

70番

5

積分問題70番
積分問題70番   思考見た目がごついですが、\(\log x\)を置き換えると意外と素直です。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); ...

 

71番

5

積分問題71番
 積分問題71番   思考対称性を利用します。(\(x\)を\(-x\)に置き換えたり)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算...

 

72番

9

積分問題72番
積分問題72番   計算今回は置換してやっていきます。 \(x=\tan \theta\)とおく。(この置き換えは分母の形から考えてやってみてます) \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi...

 

73番

10

積分問題73番
 積分問題73番  思考一問前(積分問題72番)の答えを利用します。やることは部分積分です。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); ...

 

74番

2

積分問題74番
積分問題74番   思考全体を部分積分して計算しても、分解してからでもできます。この問題は基本問題です。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({})...

 

75番

4

積分問題75番
積分問題75番   思考三角関数のお馴染みの置換をしてももちろん解けますが、今回は分母を合成して積分してみます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push...

 

76番

4

積分問題76番
積分問題76番  思考見た目は多少ごついですが逆に考えるとできることが限られています。発想として、\(t=\log x\)とおくぐらいしか出てきません。この方法で解きます。  (adsbygoogle = ...

 

77番

2

積分問題77番
 積分問題77番   思考ただただ部分積分をする基本問題です。置き換えても作業は同じなので直球で解きます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({...

 

78番

8(arctan)

積分問題78番
積分問題78番 問題\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}\) 解答\(t=\sqrt{\tan x}\) とおく。 \(\displays...

 

79番

10

積分問題79番
積分問題79番  思考分子をマクローリン展開する。あとはただただ計算する。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算 \(\disp...

 

80番

8

積分問題80番
積分問題80番   思考うまく変形させて、分子が分母の微分形になるようにします。(作り出します)ワイエルシュトラス置換(\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\))をして部分分数分解からもとけるはず...

 

81番

3

積分問題81番
 積分問題81番  思考対数の底が\(2\) のままでは非常に扱いにくいです。自然対数(底が\(e\))に変換して積分します。ポイントはそれくらいです。 計算まずは、底を変換する。 \(\log_{2} x=\...

 

82番

7

積分問題82番
 積分問題82番  思考部分積分をしますが、何回もやっていきます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\displa...

 

83番

3

積分問題83番
積分問題83番   思考そのまま部分積分しても、置換しても解けます。部分積分では広義積分になります。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});...

 

84番

5(arcsin)

積分問題84番
積分問題84番   思考\(=t\) あたりが定石でしょうが、今回の問題では分子の根号を外してうまく積分するという方法があります。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle ||...

 

85番

2

積分問題85番
積分問題85番  思考\(\log x\)を置き換える。置き換えなくてもできるが、慣れるまでは置き換えたほうがよいでしょう。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || ...

 

86番

3

積分問題86番
積分問題86番 問題  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 解答\(\displaystyle\int\displaystyle\frac...

 

87番

4

積分問題87番
 積分問題87番  解法1\(1=\sin^2 x+\cos^2 x\) と考えます。まあまあトリッキーですが、知っていればきれいに解けます。 \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{...

 

88番

3

積分問題88番
 積分問題88番   思考絶対値の中身が正か負かで分けます。計算ミスに注意すれば、よくある絶対値の積分の基本問題です。 計算\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-\cos x|dx\...

 

89番

4

積分問題89番
積分問題89番   思考\(\log x\) が邪魔です。微分すれば\(\displaystyle\frac{1}{x}\) となって、扱いやすくなります。→部分積分を使用します。  (adsbygoogle...

 

90番

9

積分問題90番
 積分問題90番   思考以前に積分問題で、\(\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx\) というのがありましたが、これも同じ感じです。知らないと置換は厳しいかもです。 計算1\(x=\disp...

 

91番

6

積分問題91番
 積分問題91番  思考一見、方針の立て方に困るかもしれません。結論から言うと、\(\log x\)を置換して解きます。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || [])...

 

92番

5

積分問題92番
 積分問題92番  思考\(\tan x\)を置き換えたくなると思います(その通りです。)置き換えなくてもできるのでそちらで解きます。(してることは同じ)  (adsbygoogle = window.ad...

 

93番

6

積分問題93番
 積分問題93番  思考① \((\tan \theta)'=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。 ② \(\tan^2 \theta=\displ...

 

94番

6

積分問題94番
 積分問題94番  思考93番の問題と考えは同じです。指数部分が偶数になってるのでほんの少し変わります。① \((\tan \theta)'=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であ...

 

95番

5

積分問題95番
積分問題95番  思考93や94番の問題のように下の二つの性質を利用します。 ① \((\tan \theta)'=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する...

 

96番

1

積分問題96番
積分問題96番  思考基本問題です。三角比の関係を使って変形して、積分します。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  計算\(\d...

 

97番

3

積分問題97番
積分問題97番  思考\(\sin^{-1} x\) は扱いづらいので、部分積分で消します。 \((\sin^{-1} x)'=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) を利用する。 ...

 

98番

4

積分問題98番
積分問題98番 (\(m\)と\(n\)は整数) 思考有名な問題です。和積公式を使って計算すれば良いのですが、場合分けに注意します。場合分けの理由については最後に述べました。    (adsbygoogl...

 

99番

10

積分問題99番
積分問題99番  思考まずは、積分の中身を変形して置き換えていきます。そのあとは特有のテクニック感は多少あります。 計算\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\biggl(\displaysty...

 

100番

2

積分問題100番
積分問題100番 問題   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 解答有理化することが分かれば簡単。 \(\displaystyle\...

 

101番

6

積分問題101番
 積分問題101番  問題\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)  (adsbygoogle = window.a...

 

102番

3(arctan)

積分問題102番
 問題   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});計算\(\displaystyle\int\log(x^3+x)dx\) \(x\log(...

 

103番

8

積分問題103番
 問題\(n\)は自然数です。  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});  思考\(n\)が入っているので漸化式形式になるのかなという発想は...

 

104番

7

積分問題104番
 問題 計算本題の計算に入る前に、一般的な話をします。\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx\) を簡単な形に変形します。 準備\(\displaystyle\int_...

 

105番

7(arctan)

積分問題105番
 問題  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 計算\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^2 ...

 

106番

5

積分問題106番
問題   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 解答\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x\sin ...

 

107番

4

積分問題107番
問題\(\displaystyle\int_{1}^{2}\displaystyle\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}dx\) (adsbygoogle = window.adsbygoogle ||...

 

 

 

 

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