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目次
積分問題ランダム10問 第一弾
数Ⅲの範囲からの出題となっています。
問題
① \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^3 x dx\)
② \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}\)
③ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\tan x}\)
④ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2-1}\)
⑤ \(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)
⑥ \(\displaystyle\int\tan^2 x dx\)
⑦ \(\displaystyle\int 3^x dx\)
⑧ \(\displaystyle\int\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{x}\biggr)^2 dx\)
⑨ \(\displaystyle\int (x+1)^{2019} dx\)
⑩ \(\displaystyle\int \sin \biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr) d\theta\)
解答
① \(\displaystyle\frac{4}{3}\)
② \(\log(e^x+1)+C\)
③ \(\log|\sin x|+C\)
④ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\biggr|+C\)
⑤ \(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)
⑥ \(\tan x-x+C\)
⑦ \(\displaystyle\frac{3^x}{\log x}+C\)
⑧ \( \displaystyle\frac{1}{3}x^3+2x-\displaystyle\frac{1}{x}+C\)
⑨ \(\displaystyle\frac{1}{2020}(x+1)^{2020}+C\)
⑩ \(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos\biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)+C\)
解き方
1番
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^3 x dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} (1-\cos^2 x)\sin x dx=\displaystyle\int_{1}^{-1} (1-t^2)(-dt)\) （\(t=\cos x\)と置換）
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1} (1-t^2)dt=2\biggl[t-\displaystyle\frac{1}{3}t^3\biggr]_{0}^{1}=\)\(\displaystyle\frac{4}{3}\)
偶関数の性質を使いましたが、使わずに普通に計算しても大丈夫です。
2番
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}\)
分子分母に\(e^x\)をかける。
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(e^x+1)’}{e^x+1}dx\)
\(=\log(e^x+1)+C\)
※分子が分母の微分形。
3番
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\tan x}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(\sin x)’}{\sin x}dx\)
\(=\log|\sin x|+C\)
※分子が分母の微分形。
4番
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2-1}\)
部分分数分解
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x-1}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\log|x-1|-\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+1|+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\biggr|+C\)
5番
\(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)
半角公式
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)
6番
\(\displaystyle\int\tan^2 x dx=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-1\biggr) dx\)
\(=\tan x-x+C\)
7番
公式通りです。
8番
\(\displaystyle\int\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{x}\biggr)^2 dx\)
展開
\(=\displaystyle\int\biggl(x^2+2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\biggr) dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+2x-\displaystyle\frac{1}{x}+C\)
9番
\(\displaystyle\int (x+1)^{2019} dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2020}(x+1)^{2020}+C\)
カッコ内をかたまりとみて積分しています。\(t=x+1\) と置き換えると分かりやすいかもしれません。
\(\displaystyle\int t^{2019} dt=\displaystyle\frac{1}{2020}t^{2020}+C=\displaystyle\frac{1}{2020}(x+1)^{2020}+C\)
10番
\(\displaystyle\int \sin \biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr) d\theta\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\cos\biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)+C\)
これもかたまりとみて積分しますが、\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)が出てくることに注意です。 ※9番と同様、置換すれば分かりやすい。
