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目次
積分問題ランダム10問 第二弾
数Ⅲの範囲からの出題となっています。
問題
① \(\displaystyle\int 1999x^{1999} dx\)
② \(\displaystyle\int\sin 1000x dx\)
③ \(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
④ \(\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x dx\)
⑤ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos x}dx\)
⑥ \(\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dx}{x^2+4}\)
⑦ \(\displaystyle\int x^2 e^{x^3} dx\)
⑧ \(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)
⑨ \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (3^x-3^{-x}) dx\)
⑩ \(\displaystyle\int dx\)
解答
① \(\displaystyle\frac{1999}{2000}x^{2000}+C\)
② \(-\displaystyle\frac{1}{1000}\cos 1000x +C\)
③ \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
④ \(\displaystyle\frac{1}{8}x-\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)
⑤ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\)
⑥ \(\displaystyle\frac{\pi}{8}\)
⑦ \(\displaystyle\frac{1}{3}e^{x^3}+C\)
⑧ \((x^2-2x+2)e^x+C\)
⑨ \(0\)
⑩ \(x+C\)
解き方
1番
ちゃんとわかっていれば問題ないですが、少し曖昧になっていると積分したらきれいな形を期待してか、\(x^{2000}+C\) などと答えてしまうかもしれません。
\(\displaystyle\int 1999x^{1999} dx\)
\(=1999\displaystyle\int x^{1999} dx=1999\cdot \displaystyle\frac{1}{2000}x^{2000}+C\)
\(=\displaystyle\frac{1999}{2000}x^{2000}+C\)
2番
\(\displaystyle\int\sin 1000x dx\)
\(\displaystyle\int f(ax+b) dx= \displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)
という形なので、一気に解いてしまって問題ありません。
ピンとこなければ置換積分でも解けます。 \(t=1000x\)として
\(\displaystyle\int\sin 1000x dx=\displaystyle\int\sin t \cdot\displaystyle\frac{dt}{1000}=-\displaystyle\frac{\cos t}{1000}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{1000}\cos 1000x +C\)
3番
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(x=\sin \theta\)と置き換えます。（\(\cos \theta\) でもいい。）
積分範囲は\(0\) ～\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)になり、\(dx=\cos\theta d\theta\)なので
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1-\sin \theta^2}}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
4番
\(\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x dx\)
\(=\displaystyle\int(\sin x\cos x)^2 dx=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{\sin 2x}{2})^2 dx\) ※二倍角
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int \sin^2 2x dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{1-\cos 4x}{2} dx\) ※半角
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}\sin 4x\biggr)+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{8}x-\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)
5番
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx\)
\(t=\sin x\) とおくと \(dt=\cos x dx\) なので
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(1-t)(1+t)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(1+t)-\displaystyle\frac{1}{2}\log(1-t)+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\)
6番
\(\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dx}{x^2+4}\)
\(x=2\tan\theta\) と置き換えます。\(dx=2\displaystyle\frac{d\theta}{\cos\theta}\)、積分範囲は\(0\)～\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) となり、
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{2 d\theta}{4(1+\tan^2 \theta)\cdot \cos^2 \theta}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{d\theta}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}\)
7番
\(\displaystyle\int x^2 e^{x^3} dx\)
\(t=x^3\) とおく。（置き換えなくてもできるなら置き換える必要はない）
\(dt=3x^2 dx\) より
\(=\displaystyle\int e^t \displaystyle\frac{dt}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}e^t+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}e^{x^3}+C\)
8番
\(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)
部分積分をひたすら繰り返す。
\(\displaystyle\int x^2 e^x dx=x^2 e^x-2\displaystyle\int x e^x dx\)
\(=x^2 e^x-2(x e^x-\displaystyle\int e^x dx)=x^2 e^x-2x e^x+2e^x+C\)
\(=(x^2-2x+2)e^x+C\)
9番
\(\displaystyle\int_{-2}^{2} (3^x-3^{-x}) dx\)
素直に積分計算しても求まると思いますが、ここでは偶関数、奇関数の性質を利用してみます。
\(f(x)=3^x-3^{-x}\) と考えて、\(f(-x)=3^{-x}-3^x=-(3^x-3^{-x})=-f(x)\) なので、これは奇関数。
つまり、積分した答えは\(0\)となる。（積分区間が対称なので）
10番
\(\displaystyle\int dx\)
これは、\(\displaystyle\int 1\cdot dx\) という意味です。
つまり答えは \(x+C\) となります。
