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目次
積分問題ランダム10問 第四弾
数Ⅲの範囲からの出題となっています。
問題
① \(\displaystyle\int \sin x dx\)
② \(\displaystyle\int \sin^2 x dx\)
③ \(\displaystyle\int\sin^3 x dx\)
④ \(\displaystyle\int \sin^4 x dx\)
⑤ \(\displaystyle\int \sin 2x dx\)
⑥ \(\displaystyle\int \sin 3x dx\)
⑦ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)
⑧ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\)
⑨ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}\)
⑩ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^4 x}\)
解答
① \(-\cos x+C\)
② \(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)
③ \(\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x+C\)
④ \(\displaystyle\frac{3}{8}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)
⑤ \(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x+C\)
⑥ \(-\displaystyle\frac{1}{3}\cos 3x+C\)
⑦ \(\log \biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)
⑧ \(-\displaystyle\frac{1}{\tan x}+C\)
⑨ \(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\biggr|-\displaystyle\frac{\cos\theta}{2\sin^2\theta}+C\)
⑩ \(-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-\displaystyle\frac{1}{3\tan^3 x}+C\)
解き方
9と10は難しめだと思われます。
1番
公式通りです。
2番
\(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}dx\) ※半角公式
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)
3番
\(\displaystyle\int\sin^3 x dx\)
\(\displaystyle\int(1-\cos^2 x)\sin x dx\)
\(t=\cos x\)とおく。 \(dt=-\sin xdx\)
\(\displaystyle\int(1-t^2)(-dt)=\displaystyle\int(t^2-1)dt=\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x+C\)
4番
\(\displaystyle\int \sin^4 x dx\)
\(=\displaystyle\int \biggl(\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}\biggr)^2 dx\) ※半角公式
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int (1-2\cos 2x+\cos^2 2x)dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1+\cos 4x}{2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{8}x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)
\(=\displaystyle\frac{3}{8}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)
5番
\(\displaystyle\int \sin 2x dx\)
一気に解いて大丈夫です。 ※\(\displaystyle\int f(ax+b)=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\) という公式。
6番
5番同様。
7番
三角関数の置換 \(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) を適用する。
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{t^2+1}}\cdot \displaystyle\frac{2 dt}{t^2+1}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t+C\)
\(=\log \biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)
8番
公式です。
9番
今回の問題の中では一番面倒です。
\(\displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}=\displaystyle\frac{\sin x}{\sin^4 x}dx\)
ここで \( t=\cos x \) と置き換えて、部分分数分解します。
\(\displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}=-\displaystyle\frac{dt}{(1-t^2)^2}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{(1+t)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1-t)^2}\biggr)dt\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\log|1+t|-\log|1-t|-\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{1-t}\biggr)+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr|-\displaystyle\frac{\cos x}{2\sin^2 x}+C\)
10番
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^4 x}\)
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\)
\(=-\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\tan x}\biggr)’ \cdot\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}\biggr)dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-\displaystyle\frac{1}{3\tan^3 x}+C\)
