数学問題1番

数学問題
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数学問題1番

 

問題

 

下準備

まず準備として \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\) を解く。

 

↓ちなみにこの問題です。

積分問題98番
積分問題98番 (\(m\)と\(n\)は整数) 思考有名な問題です。和積公式を使って計算すれば良いのですが、場合分けに注意します。場合分けの理由については最後に述べました。    (adsbygoogle = window.a

 

 

和積公式を利用して変形していく。

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (m+n)x + \cos (m-n)x\biggr)dx\)  \(\cdots\)      ①

 

これは、\(m=n\)の時と\(m \neq n\) の時で計算が変わってきます。

積分すると分母に \(m-n\) が出てくるので場合分けが必要になります。

 

\(m \neq n\) の時

そのまま積分計算をしていきます。

 

\(① =\bigg[\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\displaystyle\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\biggr)\biggr]_{-\pi}^{\pi}=0\)

 ※↑ここで \(m-n\) が分母にでてくるので場合分けを要する。

 

 \( m=n\) の時

 ①で\(m=n\) を考えて

 

\(① =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(1+\cos 2mx\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+ \displaystyle\frac{1}{2}\cos 2mx \biggr)dx\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{4m}\sin 2mx\biggr]_{-\pi}^{\pi}=\pi\)

 

 

本題 

問題の積分は

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)dx\)

 

下準備計算より、\(m=n\)のときは\(\pi\)、\(m\neq n\) のときは\(0\) 。

つまり、積分を展開するとかなりの部分が\(0\)となり、結果的に残るのは以下の項のみになります。

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cdots +\cos^2 nx)dx\)

 

よって最終的な問題の答えは

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\sum_{k=1}^{n} \cos kx \biggr)^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cdots +\cos^2 nx)dx\)

 

\(=\pi+\pi+\pi+\cdots +\pi=\)\(n\pi\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\sum_{k=1}^{n} \cos kx \biggr)^2 dx=\)\(n\pi\)

 

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