数学問題1番
問題
下準備
まず準備として \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\) を解く。
↓ちなみにこの問題です。
和積公式を利用して変形していく。
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (m+n)x + \cos (m-n)x\biggr)dx\) \(\cdots\) ①
これは、\(m=n\)の時と\(m \neq n\) の時で計算が変わってきます。
積分すると分母に \(m-n\) が出てくるので場合分けが必要になります。
\(m \neq n\) の時
そのまま積分計算をしていきます。
\(① =\bigg[\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\displaystyle\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\biggr)\biggr]_{-\pi}^{\pi}=0\)
※↑ここで \(m-n\) が分母にでてくるので場合分けを要する。
\( m=n\) の時
①で\(m=n\) を考えて
\(① =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(1+\cos 2mx\biggr)dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+ \displaystyle\frac{1}{2}\cos 2mx \biggr)dx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{4m}\sin 2mx\biggr]_{-\pi}^{\pi}=\pi\)
本題
問題の積分は
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)dx\)
下準備計算より、\(m=n\)のときは\(\pi\)、\(m\neq n\) のときは\(0\) 。
つまり、積分を展開するとかなりの部分が\(0\)となり、結果的に残るのは以下の項のみになります。
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cdots +\cos^2 nx)dx\)
よって最終的な問題の答えは
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\sum_{k=1}^{n} \cos kx \biggr)^2 dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cdots +\cos^2 nx)dx\)
\(=\pi+\pi+\pi+\cdots +\pi=\)\(n\pi\)
答え
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\sum_{k=1}^{n} \cos kx \biggr)^2 dx=\)\(n\pi\)
