数学問題10番
問題
計算
左辺を因数分解すると \( (a+b)(a^2-ab+b^2)=133\)
ここで、\(133=19 \times7\) である。
よって、\( a+b\) と\(a^2-ab+b^2\) の組み合わせは（1,133）、（7，19）、（19,7）、（133，1）とこれらの負の場合の8通りとなる。
ここで
\(a^2-ab+b^2=\biggl(a-\displaystyle\frac{b}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3b^2}{4} \geq 0\)
および
\(a^2-ab+b^2-(a+b)=\biggl(a-\displaystyle\frac{b+1}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3}{4}(b-1)^2-1 \geq -1\)
であることから、\( a+b\) と\(a^2-ab+b^2\) の組み合わせは（1,133）、（7，19）のみに限られる。
（1,133）の時。
\(b=1-a\) を代入して計算すると
\(a^2-a-44=0\)
この時、aとbは整数にならないので不適。
（7，19）の時。
\(b=7-a\) を代入して計算すると
\(a^2-7a+10=0\)
\(a=2,5\) 対応するbは \(b=5,2\)
答え
（a,b）=(2,5)、(5,2)
