数学問題11番

問題

計算

問題中の式を詳しく書き下します。

$\displaystyle\frac{a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{a_{1}}+\displaystyle\frac{a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{a_{2}}+\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{4+}\cdots+a_{n}}{a_{3}}$

$+\cdots+\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}}{a_{n}}$

最大値は大きい方にはいくらでも大きくなるので存在しません。（$\infty$）

最小値の議論は、相加平均・相乗平均の関係を使います。（今、すべて正なので適用可能）

例えば

$\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}}+\displaystyle\frac{a_{1}}{a_{2}} \geq 2\sqrt{\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}}\displaystyle\frac{a_{1}}{a_{2}}}=2$

今、問題の式を見てみると対になる組がすべて存在している。

これらのペアの総数はn個のものから2個を選ぶ組み合わせと考えられるので

$_{n}C_{2} =\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}$ 通り。

一つの組は2以上でそれが$\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}$ 個あるので最小値は$n(n-1)$

※$a_{1}$から$a_{n}$ まですべて等しい時、等号成立。（最小値の存在を確認）

答え

$$\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}\biggr)-a_{m}}{a_{m}} \geq n(n-1)$$