数学問題12番
問題
計算
\(x=t+u\) とおく。代入して解くと次の条件に帰着する。
\(8u^3+8t^3-1=0\)
\(24ut-6=0\)
\(u=\displaystyle\frac{1}{4t}\) なので代入して整理すると
\(64t^6-8t^3+1=0\)
\(t^3=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt3i}{16}\)
tとuは対称なのでこちらが正を取るとしていい。
\(t^3=\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}\)
同様に、\(u^3=\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}\)
\(x=t+u\) より答えが実数になるように答えを取るには
\(x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}}+\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}}\)
\(x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}}\omega+\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}}\omega^2\)
\(x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}}\omega^2+\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}}\omega\)
