[mathjax]
数学問題13番
思考
典型的な問題です。
不等式による絞り込みを使って考えていきます。（候補を絞っていく。）
計算
絞り込み
\(a\leq b\leq c\)より次の不等式が成立。
\(1=\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\leq \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{a} =\displaystyle\frac{3}{a}\)
これより \( a \leq 3\)
\(a=1\)の時、問題文に代入すると\(b\) と\(c\) が存在しません。
よって\(a=2 , 3\)
\(a=2\)
もう一度同様の方法で絞り込みを行う。
\(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\leq \displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{b} =\displaystyle\frac{2}{b}\)
よって \(b\leq 4\)
\(b=2\) では\(c\) と \(d\) が存在せず不適なので、 \(b=3 , 4\)
\(b=3\) の時 \(c=6\) ……適する。
\(b=4\) の時 \(c=4\) ……適する。
\(a=3\)
\(\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\leq \displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{b} =\displaystyle\frac{2}{b}\)
よって\(b\leq 3\)
\( a\leq b\) なので \(b=3\) しか可能性はない。
\(b=3\) の時 \(c=3\) ……適する。
答え
\( (a , b , c)= (2 , 4 , 4 ) (2 , 3, 6 ) (3 , 3 , 3 )\)
