[mathjax]
数学問題14番
問題
思考
定番問題です。三角関数を利用します。
突然だなと感じるかもしれませんが、\(x^2+4y^2=4\) が楕円だ（数3で習う）というところから発想します。
よくある問題なので、特に何も思わず置き換えている人もいるでしょう。
計算
三角関数変換
上で少し話したように三角関数にする。条件を満たすように変換する。
\(x=2\cos\theta 、 y=\sin\theta\) とおく。（\(0 \leq \theta < 2\pi\) ）
\(\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1\)の楕円で \(\displaystyle\frac{x^2}{4}=\cos^2 \theta , y^2=\sin^2 \theta\) から出てきている。
問題の変形
すると、問題の式は以下のように変形できる。
\(x^2+xy+2y^2=\)\(4\cos^2 \theta+2\sin \theta\cos \theta+2\sin^2 \theta\)
2倍角を使用して、\(2\theta\) に統一します。（\(\theta\)のままでは扱いにくい）
\(4\cdot \displaystyle\frac{1+\cos 2\theta}{2}+\sin 2\theta+2\cdot \displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2}\)
\(=\sin 2\theta+\cos 2\theta+3=\sqrt2\sin \biggl(2\theta+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+3\)
※最後は合成した。 よって、
\(-1\leq \sin \biggl(2\theta+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)\leq 1\)であるので
答え
最大値は\(3+\sqrt2\)
最小値は\(3-\sqrt2\)
