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数学問題15番
問題
計算
まず初めに
\(P_{1}=0\) （Aから必ず動くから。）
\(Q_{1}=\displaystyle\frac{1}{3}\)
\(n\)回の試行後にAにいる時、\(n-1\)回の試行後にはB,C,Dのいづれかにいる。
B,C,Dにいる場合からAにくるのは\(\displaystyle\frac{1}{3}\)の確率。
B,C,Dにいる確率はAにいる確率の余事象。
よって漸化式が立式できる。
\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(1-P_{n-1})\)
\(P_{n}-\displaystyle\frac{1}{4}=-\displaystyle\frac{1}{3}\biggl(P_{n-1}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)\)
\(P_{1}=0\) を考えると、
\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n-1}\)
また、B,C,Dにいる確率は対称性より等しい。（それぞれ\(=Q_{n}\)）
点はA,B,C,Dのどれかにいるので
\( P_{n}+3Q_{n}=1\) が成立。
\(Q_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n}\)
答え
\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n-1}\)
\(Q_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n}\)
