[mathjax]
数学問題16番
問題
思考
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=e\)（\(e^x\) のテイラー展開の\(x=1\)）を利用する、できるように変形する。
計算
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n^4-5n^3+9n^2-4n}{n!}\)
思考で考えたようにテイラー展開を使うため、次のように変形。
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)+n(n-1)+n}{n!}\)
それぞれ分割します。
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n}{n!}\)
ここで第一項の
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}\) を考えると、\(n=1 , 2 , 3\)の時は0なので
\(=\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}\)\(=\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-4)!}\)
（ｎが4以降なので分母が0にならないから割れる。）
同様にすると
\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n}{n!}\)
\(=\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-4)!}+\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-3)!}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-2)!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\)
初項はずれるが、分母もずれているので次のように書き換えられる。
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=4e\)
最後の変形で、\(e^x\) でのテイラー展開で\(x=1\) を代入した式 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=e\) を利用した。
テイラー展開の式については以下。
