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数学問題17番
問題
前提条件
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\) 及び \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^{ax}-1}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^{ax}-1}{ax}\times a=a\)
※これらは、\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)\)を利用して導出できる。
計算
全体
まず、シグマの部分がそのままではアイデアが出てきにくいので具体的に展開。
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\log\biggl(\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}e^{kx}\biggr)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\log\biggl(\displaystyle\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}+\cdots+e^{nx}}{n}\biggr)\)
ここから、前提条件を使っていきます。（使えるように変形）
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\) を使えるように変形します。
\(\displaystyle\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}+\cdots+e^{nx}}{n}=1+\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\displaystyle\frac{e^{2x}-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)\)
といった変形をします。（\(1+x\)の形を作った。）
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log\biggl(1+\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}{\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}\cdot\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}{x}\)
前半
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\) を使う。
※ \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)=0\)
後半
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^{ax}-1}{x}=a\) を使う。
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}{x}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\lim_{x\to 0}\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{x}+\displaystyle\frac{e^{2x}-1}{x}\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{x}\biggr)\)
\(= \displaystyle\frac{1+2+3+\cdots +n}{n}=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n}=\displaystyle\frac{n+1}{2}\)
答え
それぞれ極限が収束するので極限の積が答えとなる。
\(1\times \displaystyle\frac{1+2+3+\cdots+n}{n}=\)\(\displaystyle\frac{n+1}{2}\)
