数学問題18番
問題
計算
分母を因数分解します。
\(\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^5-5k^3+4k}=\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}\)
ここから変形するのですが、類題を解いたことがないと思いつかないかもしれません。
\(=\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{(k-2)(k-1)k(k+1)}-\displaystyle\frac{1}{(k-1)k(k+1)(k+2)}\biggr)\)
これを計算すると途中が相殺されて次のように変形できる。
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{1\times 2\times 3\times 4}-\displaystyle\frac{1}{(n-1)n(n+1)(n+2)}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{96}\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{96}\)
