数学問題19番
問題
計算
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}{n^1+n^2+n^3+\cdots+n^n}\)
分母が計算できます。分母に等比級数の公式を適用。
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}{n\cdot\displaystyle\frac{n^n-1}{n-1}}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot \displaystyle\frac{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}{n^n-1}\)
分子分母を\(n^n\)で割ります。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot \displaystyle\frac{\biggl(1-\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n+\biggl(1-\displaystyle\frac{n-2}{n}\biggr)^n+\cdots+\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)^n+1}{1-\displaystyle\frac{1}{n^n}}\)
前半
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n-1}{n}=1\)
後半
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\biggl(1+\displaystyle\frac{k}{n}\biggr)^n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\biggl(1+\displaystyle\frac{k}{n}\biggr)^{k\cdot\frac{n}{k}}=e^k\)を使うと、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\biggl(1-\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n+\biggl(1-\displaystyle\frac{n-2}{n}\biggr)^n+\cdots+\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)^n+1}{1-\displaystyle\frac{1}{n^n}}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(e^{-(n-1)}+e^{-(n-2)}+\cdots +e^{-2}+e^{-1}+1)=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-1}}=\displaystyle\frac{e}{e-1}\)
※無限等比級数の公式より
全体
極限がそれぞれ収束するので全体の極限はそれらの積となります。つまり、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot \displaystyle\frac{\biggl(1-\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n+\biggl(1-\displaystyle\frac{n-2}{n}\biggr)^n+\cdots+\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)^n+1}{1-\displaystyle\frac{1}{n^n}}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot \displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\biggl(1-\displaystyle\frac{n-1}{n}\biggr)^n+\biggl(1-\displaystyle\frac{n-2}{n}\biggr)^n+\cdots+\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)^n+1}{1-\displaystyle\frac{1}{n^n}}\)
\(=1\cdot \displaystyle\frac{e}{e-1}\)\(= \displaystyle\frac{e}{e-1}\)
答え
\(\displaystyle\frac{e}{e-1}\)
