数学問題20番
問題
計算
\(a_{n+4}+5a_{n+2}+6a_{n}=0\) を二通りに変形します。
\(a_{n+4}+3a_{n+2}=-2(a_{n+2}+3a_{n})\)
\(a_{n+4}+2a_{n+2}=-3(a_{n+2}+2a_{n})\)
場合分けする。
\(n\)が奇数
\(a_{n+2}+3a_{n}=(a_{3}+3a_{1})(-2)^{\frac{n-1}{2}}=(-4)(-2)^{\frac{n-1}{2}}\)
\(a_{n+2}+2a_{n}=(a_{3}+2a_{1})(-3)^{\frac{n-1}{2}}=(-3)(-3)^{\frac{n-1}{2}}\)
引き算すると
\(a_{n}=-(-2)^{\frac{n+3}{2}}-(-3)^{\frac{n+1}{2}}\)
\(n\)が偶数
\(a_{n+2}+3a_{n}=(a_{4}+3a_{2})(-2)^{\frac{n-2}{2}}=(4)(-2)^{\frac{n-2}{2}}\)
\(a_{n+2}+2a_{n}=(a_{4}+2a_{2})(-3)^{\frac{n-2}{2}}=(3)(-3)^{\frac{n-2}{2}}\)
引き算すると
\(a_{n}=(-2)^{\frac{n+2}{2}}+(-3)^{\frac{n}{2}}\)
