数学問題21番
問題
計算
\(f(n+1)=mf(n)\) という形を作り出すために以下のように置く。
\(a_{n+2}+k a_{n+1}+a(n+1)+b=m(a_{n+1}+k a_{n}+an+b)\) ……①
変形すると
\(a_{n+2}+(k-m)a_{n+1}-mk a_{n}=(ma-a)n+mb-a-b\)
これと問題の式を見比べると、以下の4式が出てくる。
\(k-m=3\)
\(km=-2\)
\(ma-a=6\)
\(mb-a-b=11\)
上の二式\(k=m+3\)を下に代入して二次方程式を解き \((k , m)=(2 , -1) , (1 , -2)\) を得る。
\(k=2 , m=-1\) のとき \(a=-3 , b=-4\)
\(k=1 , m=-2\) のとき \(a=-2 , b=-3\)
これらの結果を①に代入します。
\(a_{n+2}+2 a_{n+1}-3(n+1)-4=-(a_{n+1}+2 a_{n}-3n-4)\)
\(a_{n+2}+a_{n+1}-2(n+1)-3=-2(a_{n+1}+a_{n}-2n-3)\)
これらはそれぞれ括弧の中が\(n\)が1だけずれた式となっています。等比数列と考えることが出来て、以下のようになる。
\(a_{n+1}+2a_{n}-3n-4=(-1)^{n-1}(a_{2}+2a_{1}-3-4)=4(-1)^n\)
\(a_{n+1}+a_{n}-2n-3=(-2)^{n-1}(a_{2}+a_{1}-2-3)=-3(-2)^{n}\)
引き算すると \(a_{n}=4(-1)^n+3(-2)^{n-1}+n+1\) となる。
答え
\(a_{n}=4(-1)^n+3(-2)^{n-1}+n+1\)
