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数学問題26番
問題
思考
\(8\theta\)とかが明らかに扱いにくい。和積公式を利用します。
和積公式の適用も、うまくくくれるようなペアにします。
解答
今回使う和積公式は以下。
\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}\)
\(5\theta\)でくくれるようにするため、\((\sin 2\theta+\sin 8\theta)\)及び\((\sin 4\theta+\sin 6\theta)\)の組で計算します。
式変形
\(\sin 2\theta+\sin 8\theta+\sin 4\theta+\sin 6\theta\)
\(=2\sin 5\theta\cos 3\theta+2\sin 5\theta\cos\theta\) ※\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)
\(=2\sin 5\theta(\cos 3\theta+\cos\theta)\)
\(=2\sin 5\theta(4\cos^3 \theta-3\cos\theta+\cos\theta)\) ※三倍角公式利用
\(=2\sin 5\theta(4\cos^3 \theta-2\cos\theta)\)
\(=4\sin 5\theta\cos\theta(2\cos^2 \theta-1)=0\)
この方程式を解く。積が0なので、構成要素のどれかが0。以下で場合分け。
\(\sin 5\theta=0\)
今、\(0\leq\theta<\pi\)つまり、\(0\leq 5\theta<5\pi\)
よって、\(5\theta=0 , \pi , 2\pi , 3\pi , 4\pi\)
\(\theta=0 , \displaystyle\frac{\pi}{5} , \displaystyle\frac{2}{5}\pi , \displaystyle\frac{3}{5}\pi , \displaystyle\frac{4}{5}\pi \)
\(\cos\theta=0\)
\(0\leq\theta<\pi\)の範囲では、\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
\(2\cos^2 \theta-1=0\)
このときは
\(\cos\theta=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\)
\(0\leq\theta<\pi\)の範囲では、\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{3}{4}\pi\)
答え
以上をまとめると答えは
\(\theta=0 , \displaystyle\frac{\pi}{5} , \displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{2}{5}\pi , \displaystyle\frac{\pi}{2} , \displaystyle\frac{3}{5}\pi ,\displaystyle\frac{3}{4}\pi , \displaystyle\frac{4}{5}\pi\)
