[mathjax]
数学問題27番
問題
実数の範囲だと \(-1\leq\cos x\leq 1\) だが、複素数では\(\cos z\geq 1\)となり得る。
計算1
オイラー公式から
\(e^{iz}=\cos z+i\sin z\)
\(e^{-iz}=\cos z-i\sin z\)
辺々足すと \(\cos z=\displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\) となるのでこれを問題の式に代入して解く。
\(\displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=2\) を整理すると
\((e^{iz})^2-4e^{iz}+1=0\)
\(e^{iz}=2\mp\sqrt 3\) （後の計算の都合上、符号を逆にした。）
よって \(iz=\log(2\mp\sqrt 3)+2n\pi i\) （\(n\)は整数）
\(z=-i\log(2\mp\sqrt 3)+2n\pi=\)\(i\log(2\pm\sqrt 3)+2n\pi\)
計算2
\(z=x+yi\)とおく。
\(\cos z=\cos x\cos iy-\sin x\sin iy=\cos x\cos hy-i\sin x\sin hy=2\)
なお、以下の変形を使った。
\(\cos iy=\displaystyle\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\displaystyle\frac{e^y+e^{-y}}{2}=\cos hy\)
\(\sin iy=\displaystyle\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}=-\displaystyle\frac{e^y-e^{-y}}{2i}=i\sin hy\)
実部と虚部の比較から \(\sin x\sin hy=0\)、\(\cos x\cos hy=2\) がわかる。
\(\sin x\sin hy=0\)より\(\sin x=0\)または\(\sin hy=0\)
\(\sin hy=0\)のとき
\(y=0\)となるが \(\cos h0=\displaystyle\frac{e^0+e^{-0}}{2}=1\)
より、\(\cos x=2\)となって不適。
\(\sin x=0\)のとき
\(x=m\pi\)であり、\((-1)^m\cos hy=2\)
\(cos hy>0\)より mは偶数なので\(m=2n\)とおく。
\(\cos hy=\displaystyle\frac{e^y+e^{-y}}{2}=2\)を変形する。
\(e^{2y}-4e^y+1=0\)
\(e^{y}=2\pm \sqrt 3\)より \(y=\log(2\pm\sqrt 3)\)
よって \(z=x+yi=2n\pi+i\log(2\pm\sqrt 3)\) （\(n\)は整数）
答え
\(z=2n\pi+i\log(2\pm\sqrt 3)\) （\(n\)は整数）
