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数学問題28番
問題
計算
問題の漸化式を気合で変形すると
\(a_{n+3}-3a_{n+2}+2a_{n+1}=a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_{n}=\cdots =a_{3}-3a_{2}+2a_{1}=2\)
\(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_{n}=2\) という漸化式を得られる。
この漸化式は特性方程式の解が\(1\)と\(2\)であることから
\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2\) \(\cdots\) ①
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=(a_{n+1}-2a_{n})+2\) \(\cdots\) ②
の2通りに変形できる。
その1
①より \(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2\)
\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) とおいて変形すると \(b_{n+1}+2=2(b_{n}+2)\)
数列 {\(b_{n}+2\)} は初項\(2\)、公比\(2\)の等比数列。
\(b_{n}+2=2^n\)
\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=2^n-2\) \(\cdots\) ③
その2
②より \(a_{n+2}-2a_{n+1}=(a_{n+1}-2a_{n})+2\)
数列{\(a_{n+1}-2a_{n}\)}は初項\(-1\)の等差数列。
\(a_{n+1}-2a_{n}=-1+2(n-1)=2n-3\) \(\cdots\) ④ が得られる。
まとめ
\(a_{n+1}-a_{n}=2^n-2\) \(\cdots\) ③
\(a_{n+1}-2a_{n}=2n-3\) \(\cdots\) ④
③－④ より \(a_{n}=2^n-2n+1\)
答え
\(a_{n}=2^n-2n+1\)
メモ
・漸化式に関して
漸化式その2の部分で、次のような変形も可能。
\(a_{n+2}-2a_{n+1}-2(n+1)=a_{n+1}-2a_{n}-2n=\cdots =-3\) より
\(a_{n+1}-2a_{n}=2n-3\) \(\cdots\) ④
・この問題に関して
隣接4項間漸化式として気合で解くこともできる。
