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目次
数学問題30番
問題
\(a=2^k-1\) と書ける自然数とする。
\(m^2=2^n+a^2\)を満たす \((m , n)\)を求めよ。\(m , n , k\)は自然数。
計算
問題より \(2^n=m^2-a^2=(m+a)(m-a)\)
ここで\(m\)が自然数であることから
\((m+a)+(m-a)=2m(偶数)>0\) 及び \((m+a)(m-a)\)も偶数なので
\((m+a)\)と\((m-a)\)は共に偶数。よって
\(m+a=2^{\alpha}\)、\(m-a=2^{\beta}\) \((\alpha、\beta は\alpha>\beta\geq 1の自然数)\)と置ける。
\(2a=2^{\alpha}-2^{\beta}=2^{\beta}(2^{\alpha-\beta}-1)\)
\(a=2^{\beta-1}(2^{\alpha-\beta}-1)\) \(\cdots\) ①
\(a\) と \(2^{\alpha-\beta}-1\)は奇数なので、\(\beta=1\)
①に代入すると \(a=2^{\alpha-1}-1\)
ここで問題より \(a=2^k-1\)と書けるので \(\alpha=1+k\)
\(m=\displaystyle\frac{1}{2}(2^{\alpha}+2^{\beta})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(2^{1+k}+2)\)
\(=2^k+1\)
\(n=\log_{2} (m^2-a^2)=\log_{2} ((2^k+1)^2-(2^k-1)^2)\)
\(=\log_{2} 2^{k+2}\)
\(=k+2\)
答え
\((m , n)=(2^k+1 , k+2)\)
