[mathjax]
目次
数学問題31番
問題
\(x^3+y^3=p^2\) \(x,y\)は自然数、\(p\)は素数。の組を求める。
計算
\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^2\)
\(p\)は素数なので \((x+y , x^2-xy+y^2)=(1 , p^2) , (p , p) , (p^2 , 1)\)
\((x+y , x^2-xy+y^2)=(1 , p^2)\)のとき
\(x,y\)は自然数という条件より、\(x+y\geq 2\) なので不適。
\((x+y , x^2-xy+y^2)=(p , p)\)のとき
\(p=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^2-3xy\) より
整理して \(xy=\displaystyle\frac{p^2-p}{3}\) \(\cdots\) ①
問題より \(x+y=p\) \(\cdots\) ②
①②より \(x , y\)は、二次方程式 \(t^2-pt+\displaystyle\frac{p^2-p}{3}=0\) の解
この二次方程式が実数解をもつならば、判別式\(D=p^2-4\displaystyle\frac{p^2-p}{3}\geq 0\)
整理すると \(p(p-4)\leq 0\)
\(p\)は素数より\(p=2 , 3\)
① \(p=2\)のとき
\(x+y=2\)、\(xy=\displaystyle\frac{2}{3}\) だが、これは整数解にならない。
② \(p=3\)のとき
\(x+y=3\)、\(xy=2\)
\( (x , y)=(1 , 2) , (2 , 1)\)
\((x+y , x^2-xy+y^2)=(p^2 , 1)\)のとき
\(1=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^4-3xy\) より
整理して \(xy=\displaystyle\frac{p^4-1}{3}\) \(\cdots\) ①
問題より \(x+y=1\) \(\cdots\) ②
①②より \(x , y\)は、二次方程式 \(t^2-(x+y)t+xy=0\) の解
つまり、この二次方程式が実数解をもつならば、判別式\(D=p^4-4\displaystyle\frac{p^4-1}{3}\geq 0\)
整理すると \(p^4\leq 4\) となり、これを満たす素数は存在しない。
答え
\((x , y , p)=(1 , 2 , 3) , (2, 1 , 3)\)
