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数学問題32番
問題
計算
\(n^k-m^3 n+m^3=0\)
\(n=1\)は解ではないので \(n\neq 1\) より
\(m^3=\displaystyle\frac{n^k}{n-1}\)
左辺が整数なので、右辺も整数となる。ここで\(n\)と\(n-1\)は互いに素。
右辺が整数になるには\(n-1=\pm 1\)とならないといけない。
\(n=0 , 2\)
\(n=0\)のとき
問題の式に代入して\(m=0\)を得る。
\(n=2\)のとき
問題の式より、\(m^3=2^k\)
\(m=2^{\frac{k}{3}}\)
mは整数なので、\(k\)が3の倍数の時、解となる。
答え
\((m , n)=(0 , 0),(2^{\frac{k}{3}} , 2)\)（kは3の倍数。）
