数学問題33番

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数学問題33番

問題

証明

\(p\neq 3\)の素数より　\(p \equiv \pm1 (mod 3)\)と書ける。（\(p\)を3で割ると1か2余るので）

\(p^{2m}+5 \equiv (\pm1)^{2m}+5 \equiv 1^m+5\equiv 0 (mod 3)\)

よって\(p^{2m}+5\)は\(3\)の倍数である。

ここで、\(p^{2m}+5\neq 3\)よりこれは合成数となる。