数学問題34番

[mathjax]

問題

フェルマーの小定理の証明。

証明

二項展開を利用。

\(n^p=[(n-1)+1]^p=(n-1)^p+\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(n-1)^k+1\)

\(\equiv (n-1)^p+1\)

※\(p\)が素数の時\(_{p}C_{k}\)は\(p\)の倍数であることを使用した。

\(\equiv (n-2)^p+1+1\)

\(\equiv 1+1+1\cdots +1\)\(=n\) \((mod p)\)

よって証明完了。