[mathjax]
数学問題37番
思考
対称式なので、\(a>b>c\)と仮定して解いてよく、チェビシェフの不等式が利用できる。
\(a,b,c,n\)は正の数なので、いろいろな不等式が使える。
計算
解1
ネスビットの不等式に形が似ているので、それを利用します。（使えるように変形）
\(\displaystyle\frac{a^n}{b+c}+\displaystyle\frac{b^n}{c+a}+\displaystyle\frac{c^n}{a+b}\)
\(\geq \displaystyle\frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})\biggl(\displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}\biggr)\) （チェビシェフ不等式）
\(\geq \displaystyle\frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})\cdot \displaystyle\frac{3}{2}\) （ネスビットの不等式）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt[3]{(abc)^{n-1}}\) （相加相乗）
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)
解2
ネスビット不等式を使わずにやってみます。
nが正なので、\(x^n\)においての凸不等式の性質が使える。
\(\displaystyle\frac{a^n}{b+c}+\displaystyle\frac{b^n}{c+a}+\displaystyle\frac{c^n}{a+b}\)
\(\geq \displaystyle\frac{1}{3}(a^{n}+b^{n}+c^{n})\biggl(\displaystyle\frac{1}{b+c}+\displaystyle\frac{1}{c+a}+\displaystyle\frac{1}{a+b}\biggr)\) （チェビシェフ不等式）
\(\geq\biggl(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\biggr)^n \biggl(\displaystyle\frac{1}{b+c}+\displaystyle\frac{1}{c+a}+\displaystyle\frac{1}{a+b}\biggr)\) （イェンゼン不等式）
\(=\biggl(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\biggr)^{n-1} \displaystyle\frac{1}{6}\biggl((b+c)+(c+a)+(a+b)\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{1}{b+c}+\displaystyle\frac{1}{c+a}+\displaystyle\frac{1}{a+b}\biggr)\)
\(\geq \biggl(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\biggr)^{n-1} \displaystyle\frac{1}{6}(1+1+1)^2\) （コーシーシュワルツ不等式）
\(\geq \biggl(\displaystyle\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3}\biggr)^{n-1}\cdot \displaystyle\frac{3}{2}\) （相加相乗）
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)
