[mathjax]
数学問題40番
思考
相加平均・相乗平均の関係の利用。
\(a+b=1\)の等号をうまく使えるようにやや技巧的な変形します。
計算
\(n^a+n^{bn}=n^{a-1}+n^{a-1}+n^{a-1}+\cdots +n^{a-1}+n^{bn}\)
\(\geq (n+1)\sqrt[n+1]{n^{a-1}\cdot n^{a-1}\cdot n^{a-1}\cdots +n^{a-1}\cdot n^{bn}}\) （相加相乗）
\(=(n+1)\sqrt[n+1]{n^{n(a+b-1)}}\)
\(=(n+1)\sqrt[n+1]{1}\)
\(=(n+1)\)
より示された。
