[mathjax]
数学問題41番
思考
因数分解します。
計算
\(k\geq 3\)の奇数なので
\(n^k+1=(n+1)(n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots +1)\) と変形できる。
これが素数となるということは因数のうち片方が\(1\)になる。
\(n+1\geq 2\neq 1\) より、\((n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots +1)=1\) ということになる。
\(n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots n^2-n=0\) と変形出来て、
\((n-1)(n^{k-2}+n^{k-4}+\cdots +n)=0\)
\(k\geq 3\)より \(n^{k-2}+n^{k-4}+\cdots +n\geq n\geq 0\)より\(n-1=0\)すなわち \(n=1\) である。
この時の素数は\(2\)となり題意成立。
