[mathjax]
問題
\(_{n}\mathrm{C}_{1}-_{n}\mathrm{C}_{3}+_{n}\mathrm{C}_{5}-_{n}\mathrm{C}_{7}+\cdots\)を求める
解答
\((1+i)^n\)を二通りで表す。
ド・モアブルの定理を考えると
\((1+i)^n=\sqrt{2}^n\left(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}+i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)\)
二項展開すると
\((1+i)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}i-_{n}\mathrm{C}_{2}-i_{n}\mathrm{C}_{3}+\cdots\)
\(=(_{n}\mathrm{C}_{0}-_{n}\mathrm{C}_{2}+_{n}\mathrm{C}_{4}-\cdots)+i(_{n}\mathrm{C}_{1}-_{n}\mathrm{C}_{3}+_{n}\mathrm{C}_{5}+\cdots)\)
虚部を比較すると
\(_{n}\mathrm{C}_{1}-_{n}\mathrm{C}_{3}+_{n}\mathrm{C}_{5}+\cdots=\sqrt{2}^n \sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\)
※実部を比較すると以下が得られる。
\(_{n}\mathrm{C}_{0}-_{n}\mathrm{C}_{2}+_{n}\mathrm{C}_{4}+\cdots=\sqrt{2}^n \cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}\)
