[mathjax]
問題
\(n\geq 3\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 _{n}\mathrm{C}_{k}\)
解答
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 _{n}\mathrm{C}_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \left\{k(k-1)(k-2)_{n}\mathrm{C}_{k}+3k(k-1)_{n}\mathrm{C}_{k}+k_{n}\mathrm{C}_{k}\right\}\)
ここで
\( (1+x)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}x+_{n}\mathrm{C}_{2}x^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}x^n\)
を一回微分すると
\(n(1+x)^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k _{n}\mathrm{C}_{k} x^{k-1}\)
\(x=1\)を代入すると、\(n\cdot 2^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k _{n}\mathrm{C}_{k}\)
同様に二回微分して\(x=1\)を代入すると
\(n(n-1)\cdot 2^{n-2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1) _{n}\mathrm{C}_{k}\)
同様に三回微分して\(x=1\)を代入すると
\(n(n-1)(n-2)\cdot 2^{n-3}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1)(k-2) _{n}\mathrm{C}_{k}\)
よって元の式は
\(=n(n-1)(n-2)2^{n-3}+3n(n-1)\cdot 2^{n-2}+n\cdot 2^{n-1}\)
\(=n^2(n+3)\cdot 2^{n-3}\)
