数学問題45番

数学問題
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問題

\(n\geq 3\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 _{n}\mathrm{C}_{k}\)

 

解答

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 _{n}\mathrm{C}_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \left\{k(k-1)(k-2)_{n}\mathrm{C}_{k}+3k(k-1)_{n}\mathrm{C}_{k}+k_{n}\mathrm{C}_{k}\right\}\)

 

ここで

\( (1+x)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}x+_{n}\mathrm{C}_{2}x^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}x^n\)

 

を一回微分すると

\(n(1+x)^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k _{n}\mathrm{C}_{k} x^{k-1}\)

 

\(x=1\)を代入すると、\(n\cdot 2^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k _{n}\mathrm{C}_{k}\)

 

同様に二回微分して\(x=1\)を代入すると

\(n(n-1)\cdot 2^{n-2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1) _{n}\mathrm{C}_{k}\)

同様に三回微分して\(x=1\)を代入すると

\(n(n-1)(n-2)\cdot 2^{n-3}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1)(k-2) _{n}\mathrm{C}_{k}\)

 

よって元の式は

\(=n(n-1)(n-2)2^{n-3}+3n(n-1)\cdot 2^{n-2}+n\cdot 2^{n-1}\)

 

\(=n^2(n+3)\cdot 2^{n-3}\)

 

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