[mathjax]
目次
数学問題46番
問題
計算
式変形
\(\sqrt{x^2+x+1}=n\) （nは0以上の整数）を満たすx、nを探す。
\(\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3}{4}=n^2\)……（二乗して整理）
\(4n^2-(2x+1)^2=3\) ……（移行して両辺4倍）
\((2n+2x+1)(2n-2x-1)=3\) ……（因数分解）
ここで\((2n+2x+1、2n-2x-1）\)の組の候補として
（1，3）、（3，1）、（－3、－1）、（－1、－3）
がある。（それぞれ整数なため）
ところで \((2n+2x+1)+(2n-2x-1)=4n\geq 0\)
つまり後半の二つの候補は除外できる。
\(2n+2x+1=1\) かつ\(2n-2x-1=3\) の時
\(4x+2=-2\) より \(x=-1\) （実際この時1となり成立）
\(2n+2x+1=3\) かつ\(2n-2x-1=1\) の時
\(4x+2=2\)より \(x=0\) （実際この時1となり成立）
答え
\(x= 0 , -1\)
