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目次
数学問題46番
問題
計算
式変形
\(\sqrt{x^2+x+1}=n\) (nは0以上の整数)を満たすx、nを探す。
\(\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3}{4}=n^2\)……(二乗して整理)
\(4n^2-(2x+1)^2=3\) ……(移行して両辺4倍)
\((2n+2x+1)(2n-2x-1)=3\) ……(因数分解)
ここで\((2n+2x+1、2n-2x-1)\)の組の候補として
(1,3)、(3,1)、(-3、-1)、(-1、-3)
がある。(それぞれ整数なため)
ところで \((2n+2x+1)+(2n-2x-1)=4n\geq 0\)
つまり後半の二つの候補は除外できる。
\(2n+2x+1=1\) かつ\(2n-2x-1=3\) の時
\(4x+2=-2\) より \(x=-1\) (実際この時1となり成立)
\(2n+2x+1=3\) かつ\(2n-2x-1=1\) の時
\(4x+2=2\)より \(x=0\) (実際この時1となり成立)
答え
\(x= 0 , -1\)