[mathjax]
問題
\(n\)は3の倍数とする。
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n/3} \)\(_{n}\mathrm{C}_{3k}\)はいくらか？
解答
\(\omega^3=1\)となる\(\omega\)を導入する。以下の3つを二項展開する。
\((1+\omega)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}\omega+_{n}\mathrm{C}_{2}\omega^2+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}\)
\((1+\omega^2)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}\omega^2+_{n}\mathrm{C}_{2}\omega+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}\)
\((1+1)^n=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}+_{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}\)
3つを足し合わせると
\((1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n+2^n=3\displaystyle\sum_{k=0}^{n/3} \)\(_{n}\mathrm{C}_{3k}\)
ここで
\((1+\omega)^n=(-\omega^2)^{n}=\left(-\cos\displaystyle\frac{4}{3}\pi-i\sin\displaystyle\frac{4}{3}\pi\right)^{n}=\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{3}\)
\((1+\omega^2)^n=(-\omega)^{n}=\left(-\cos\displaystyle\frac{2}{3}\pi-i\sin\displaystyle\frac{2}{3}\pi\right)^{n}=\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}-i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{3}\)
より
\(左辺=(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n+2^n=2\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}+2^n\)
となるので答えは
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n/3}\)\( _{n}C_{3k}=\displaystyle\frac{2}{3}\cos\displaystyle\frac{n\pi}{3}+\displaystyle\frac{2^n}{3}\)
