[mathjax]
数学問題49番
思考
\(n^2<x<(n+1)^2\) となる時xは平方数にはなりえない。これを利用して求める。
計算
挟みこみ
\(n^4+2n^3+2n^2+2n+2\)に近い平方数は
\( (n^2+n)^2=n^4+2n^3+n^2\) が挙げられる。（この辺りは試行錯誤）
\((n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\) 。 ※一違いの平方数
挟める条件
\(n^4+2n^3+n^2=(n^2+n)^2\)\(<n^4+2n^3+2n^2+2n+2\) は常に成立。
※右辺ー左辺で判別式が負なので。
\(n^4+2n^3+2n^2+2n+2\)\(<(n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)
が成立するのは右辺ー左辺で\(n^2-1>0\) のとき。
まとめると、\(|n|>1\)のときは以下の不等式が成立する。（＝平方数になりえない。）
\( (n^2+n)^2\)\(<n^4+2n^3+2n^2+2n+2<\)\((n^2+n+1)^2\)
解確認
よって解の候補としては \(n=0, \pm1\)
\(n=1\)の時 9となって成立。
\(n=0\)の時 2となって成立しない。
\(n=-1\)の時 1となって成立。
答え
\(n=\pm 1\)
